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故障树分析法的数学基础

作者:本站发布机构:本站发布日期:2015-03-10

1.数学基础

(1)基本概念

集从最普遍的意义上说,集就是具有某种共同可识别特点的项(事件)的集合。这些共同特点使之能够区别于他类事物。

并集把集合A的元素和集合B的元素合并在一起,这些元素的全体构成的集合叫做A与B的并集,记为A∪B或A+B。若A与B有公共元素,则公共元素在并集中只出现一次。
例若A={a、b、c、d};
B={c、d、e、f};
A∪B={a、b、c、d、e、f}。

(2)交集

两个集合A与B的交集是两个集合的公共元素所构成的集合,记为A∪B或A+B。根据定义,交是可以交换的,即A∩B。

例若A={a、b、c、d};
B={c、d、e};
则A∩B={c、d}。

(3)补集

在整个集合(Ω)中集合A的补集为一个不属于A集的所有元素的集。补集又称余,记为A或A

2.布尔代数规则

布尔代数用于集的运算,与普通代数运算法则不同。它可用于故障讨分析,布尔代数可以帮助我们将事件表达为另一些基本事件的组合。将系统失效表达为基本元件失效的组合。演算这些方程即可求出导致系统失效的元件失效组合(即最小割集),进而根据元件失效概率,计算出系统失效的概率。布尔代数规则如下(X、Y代表两个集合):

(1)交换律:X·Y=Y·XX+Y=Y+X

(2)结合律

(3)分配律:X·(Y·Z):(X·Y)·Z,X+(Y+Z)=(X+Y)+Z,X·(Y+Z):X-Y+X·Z,X+(Y·Z)=(X+Y)-(X+Z)

(4)吸收律:X·(X+Y):X,X+(X·Y):X

(5)互补律:X+X=Ω=1,X·X=φ(φ表示空集)

(6)幂等律:X·X=X,X+X=X

(7)狄·摩根定律:(x·Y)=X+Y,(X+Y)=X·Y

(8)对合律:(X)=X

(9)重叠律:X+XY=X+Y=Y+YX